Begay urodził się 11 stycznia 1954 roku w Tuba City w Arizonie. Dorastał w rezerwacie Navajo, gdzie od rodziców i dziadków dowiedział się o tradycyjnej kulturze Navajo. Begay zaczął rysować i malować w młodym wieku i wkrótce zdał sobie sprawę, że ma talent artystyczny.
Po ukończeniu szkoły średniej Begay studiował sztukę w Instytucie Sztuki Indian Amerykańskich w Santa Fe w Nowym Meksyku. Następnie studiował na Uniwersytecie w Arizonie, gdzie uzyskał tytuł licencjata sztuk pięknych.
Obrazy Begay przedstawiają różnorodne tematy, w tym ceremonie Navajo, rytuały i życie codzienne. Jego prace charakteryzują się żywymi kolorami, skomplikowanymi wzorami i silnym poczuciem duchowości. Obrazy Begaya chwalono za ich piękno, znaczenie kulturowe i umiejętność uchwycenia esencji życia Navajo.
Prace Begay były wystawiane w muzeach i galeriach na całym świecie, w tym w Smithsonian Institution, Heard Museum i Museum of Modern Art. Otrzymał także liczne nagrody, w tym stypendium National Endowment for the Arts Fellowship, nagrodę Arts Award gubernatora stanu Arizona oraz nagrodę Native American Art Awards.
Twórczość Begay w dalszym ciągu inspiruje i uczy widzów o kulturze Navajo. Uważany jest za jednego z najważniejszych indiańskich artystów swojego pokolenia.
Begay zmarł na raka 17 sierpnia 2012 roku w Tuba City w Arizonie. Miał 58 lat.