Poche został wybrany przez Anioły w drugiej turze draftu w 1986 roku. Zadebiutował w pierwszej lidze w barwach Angels w 1989 roku i spędził w drużynie większość następnych trzech sezonów. W 1992 roku został sprzedany do The Reds, gdzie spędził kolejne cztery sezony. Zakończył karierę w głównej lidze z Padres w roku 1996.
Ogółem Poche ustanowił rekord 53–52 z 4,26 ERA w 157 meczach w karierze. W 923 rundach narzucił 535 pałkarzy.
Po wycofaniu się z baseballu Poche został trenerem pitchingu. Pracował w mniejszych ligach Angels, Reds i Seattle Mariners. Obecnie jest trenerem pitchingu w Louisville Bats, drużynie zależnej Triple-A drużyny Cincinnati Reds.