Copley urodził się w dzielnicy Toxteth Park w Liverpoolu. Jego ojciec był walijskim perkusistą jazzowym, a Copley zaczął grać na perkusji i gitarze jako dziecko. Na początku lat 60. zaczął występować w słynnym Cavern Club w Liverpoolu, obok wielu innych znanych muzyków, takich jak The Beatles, Gerry and the Pacemakers oraz Billy J. Kramer z The Dakotas.
W 1963 roku Copley wydał swój pierwszy album „Rock With Sammy Joe”. Album zawierał różnorodne gatunki, w tym blues, rock and roll i skiffle. Album został dobrze przyjęty i pomógł Copleyowi stać się popularnym muzykiem w Wielkiej Brytanii.
Copley kontynuował wydawanie albumów i trasy koncertowe w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych. Zaczął także produkować płyty dla innych artystów, w tym dla Billy'ego Fury'ego i The Foundations.
Pod koniec lat 70. kariera Copleya zaczęła podupadać. Popadł w uzależnienie od narkotyków, przez co jego muzyka zaczęła ucierpieć. W końcu wrócił do Liverpoolu i nadal występował w lokalnych miejscach.
W 2016 roku Copley zmarł w wieku 77 lat. Zapamiętano go jako wpływowego muzyka, który pomógł ukształtować początki rock and rolla.