Urodził się jako Richard Ernest Parkes Bartram w Londynie w Anglii. Studiował w Hendon School i od najmłodszych lat interesował się aktorstwem. Po służbie w Królewskich Siłach Powietrznych podczas II wojny światowej studiował w Królewskiej Akademii Sztuki Dramatycznej (RADA).
Po ukończeniu RADA Barton rozpoczął karierę aktorską w teatrze repertuarowym, występując w przedstawieniach Birmingham Repertory Theatre i Old Vic. W 1949 roku zadebiutował na West Endzie w przedstawieniu „Ryszard II”. Następnie pojawił się w wielu innych produkcjach na West Endzie, w tym w „Hamlecie”, „Makbecie” i „Otello”.
Barton miał także za sobą udaną karierę filmową, występując w takich filmach jak „Pogromcy tam” (1955), „Najdłuższy dzień” (1962) i „Szarża lekkiej brygady” (1968). Wystąpił także w kilku produkcjach telewizyjnych, w tym w „The Age of Kings” (1960) i „The Forsyte Saga” (1967) stacji BBC.
Oprócz kariery aktorskiej Barton był także reżyserem i producentem. Wyreżyserował wiele przedstawień dla Royal Shakespeare Company, m.in. „Hamleta”, „Makbeta” i „Króla Leara”. Wyreżyserował także kilka przedstawień dla Teatru Narodowego, m.in. „Wiśniowy sad” i „Mewa”.
Barton był żonaty z aktorką Anne Baxter od 1949 do 1951. Później poślubił aktorkę Natashę Parry w 1960. Miał troje dzieci:syna Morgana i dwie córki Demelzę i Lucy.
Barton zmarł na raka w dniu 5 kwietnia 2000 roku w wieku 74 lat.